Per quanto tempo cade un oggetto?
Risposta veloce (con altezza in metri e risposta in secondi):

\[t = 0.45 * \sqrt{h}\]

Qualche numero pronto:

  • 10 m → 1,4 s
  • 100 m → 4,5 s
  • 300 m → 7,8 s
  • 500 m → 10 s

Spiegazione

Nella fisica classica, senza attrito:

\[v = a * t, \text{ dove } v = x(t)/t \text{ con } x \text{ che rappresenta l'altezza. }\]

integrando per il tempo si ottiene:

\[x(t) = x(0) + v(0) * t + 1/2 a * t^2\]

quindi, con \(x(t) = 0\), \(x(0) = h\) (per altezza), \(a = -g\) (verso il basso e costante nel tempo) e \(v(0) = 0\) (cade da fermo, almeno verticalmente).

\[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\]

Nel pratico, calcolando a spanne le constanti \(\sqrt{\frac{2}{g}} = 0.45 \)

Con attrito dell’aria

Qui la cosa si fa più complicata, l’aria oppone resistenza proporzionalmente al quadrato della velocità, all’area frontale.

La velocità terminale è la velocità massima di caduta, quella per cui l’attrito è uguale alla forza peso, quindi l’oggetto non riesce ad accelerare di più.

La resistenza dovuta all’attrito è:

\[D = \frac{1}{2} C_d p v^2 A\]

Con \(C_d =\) coefficiente di resistenza, \(p =\) la densità dell’aria (circa 1,225 kg/m³ al livello del mare), \(v =\) la velocità e \(A =\) area frontale.

Per trovare la velocità terminale risolviamo per \(v\) quando \(D = m * g\), cioè massa per gravità, cioè la forza peso, otteniamo:

\[v_{max}= \sqrt{\frac{2 m g}{C_d p A}} \]

Ora tornare integrare per \(v\) e poi per \(t\) non è banale e porterebbe ad una formula bella complessa, inutilizzabile.

La NASA ha anche un elenco di valori per \(C_d\) data la forma.

Non c’è una soluzione semplice, essendo la resistenza dipendente dal quadrato della velocità, a basse velocità (cioè a base altezze), conta poco.
Sotto i 300m, l’errore è tendenzialmente piccolo (per oggetti compatti e relativamente densi).

Sui 300m, i tempi stimati arrivano a 9-10 secondi al posto dei 8 senza attrito.

Sopra inizia a diventare più significativo, un paracadutista (con paracadute chiuso), ha una velocità terminale di 55 m/s 1, che raggiunge al 90% prima dei 300m.

Quindi per fare 1000m impiega poco più di 20 secondi, più dei 14 secondi teorici senza aria.